PRUEBA DE HIPÓTESIS

Concepto:

Es un procedimiento estadístico que permite aceptar o rechazar una afirmación hecha con respecto a un fenómeno o suceso.

Etapas Básicas en Pruebas de Hipótesis

Al realizar pruebas de hipótesis, se parte de un valor supuesto (hipotético) en parámetro poblacional. Después de recolectar una muestra aleatoria, se compara la estadística muestral, así como la media (x), con el parámetro hipotético, se compara con una supuesta media poblacional (). Después se acepta o se rechaza el valor hipotético, según proceda. Se rechaza el valor hipotético sólo si el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hipótesis es cierta.

• Etapa 1: Planear la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. La hipótesis nula (H₀) es el valor hipotético del parámetro que se compra con el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hipótesis es cierta. 
• Etapa 2: Especificar el nivel de significancia que se va a utilizar. El nivel de significancia del 5%, entonces se rechaza la hipótesis nula solamente si el resultado muestral es tan diferente del valor hipotético que una diferencia de esa magnitud o mayor, pudiera ocurrir aleatoria mente con una probabilidad de 1.05 o menos.
• Etapa 3: Elegir la estadística de prueba. La estadística de prueba puede ser la estadística muestral (el estimador no segado del parámetro que se prueba) o una versión transformada de esa estadística muestral. Por ejemplo, para probar el valor hipotético de una media poblacional, se toma la media de una muestra aleatoria de esa distribución normal, entonces es común que se transforme la media en un valor z el cual, a su vez, sirve como estadística de prueba.
• Etapa 4: Establecer el valor o valores críticos de la estadística de prueba. Habiendo especificado la hipótesis nula, el nivel de significancia y la estadística de prueba que se van a utilizar, se produce a establecer el o los valores críticos de estadística de prueba. Puede haber uno o más de esos valores, dependiendo de si se va a realizar una prueba de uno o dos extremos. 
• Etapa 5: Determinar el valor real de la estadística de prueba. Por ejemplo, al probar un valor hipotético de la media poblacional, se toma una muestra aleatoria y se determina el valor de la media muestral. Si el valor crítico que se establece es un valor de z, entonces se transforma la media muestral en un valor de z. 
• Etapa 6: Tomar la decisión. Se compara el valor observado de la estadística muestral con el valor (o valores) críticos de la estadística de prueba. Después se acepta o se rechaza la hipótesis nula. Si se rechaza ésta, se acepta la alternativa; a su vez, esta decisión tendrá efecto sobre otras decisiones de los administradores operativos, como por ejemplo, mantener o no un estándar de desempeño o cuál de dos estrategias de mercadotecnia utilizar. 

Consecuencias de las Decisiones en Pruebas de Hipótesis

Decisiones Posibles	Situaciones Posibles
		La hipótesis nula es verdadera	La hipótesis nula es falsa
Aceptar la Hipótesis Nula	Se acepta correctamente	Error tipo II
Rechazar la Hipótesis Nula	Error tipo I	Se rechaza correctamente

Pasos de la prueba de hipótesis

1. Expresar la hipótesis nula.
2. Expresar la hipótesis alternativa.
3. Especificar el nivel de significancia.
4. Determinar el tamaño de la muestra.
5. Establecer los valores críticos que establecen las regiones de rechazo de las de no rechazo.
6. Determinar la prueba estadística.
7. Coleccionar los datos y calcular el valor de la muestra de la prueba estadística apropiada.
8. Determinar si la prueba estadística ha sido en la zona de rechazo a una de no rechazo.
9. Determinar la decisión estadística.
10. Expresar la decisión estadística en términos del problema.

Conceptos básicos para el procedimiento de Pruebas de Hipótesis

Hipótesis Estadística: Al intentar alcanzar una decisión, es útil hacer hipótesis (o conjeturas) sobre la población aplicada.

Tales hipótesis, que pueden ser o no ciertas, se llaman hipótesis estadísticas.

Son, en general, enunciados acerca de las distribuciones de probabilidad de las poblaciones.

Hipótesis Nula: En muchos casos formulamos una hipótesis estadística con el único propósito de rechazarla o invalidarla. Así, si queremos decidir si una moneda está trucada, formulamos la hipótesis de que la moneda es buena (o sea p = 0,5, donde p es la probabilidad de cara).

Analógicamente, si deseamos decidir si un procedimiento es mejor que otro, formulamos la hipótesis de que no hay diferencia entre ellos (O sea, que cualquier diferencia observada se debe simplemente a fluctuaciones en el muestreo de la misma población). Tales hipótesis se suelen llamar hipótesis nula y se denotan por H_o.

Una hipótesis nula es importante por varias razones:

• Es una hipótesis que se acepta o se rechaza según el resultado de la investigación.
• El hecho de contar con una hipótesis nula ayuda a determinar si existe una diferencia entre los grupos, si esta diferencia es significativa, y si no se debió al azar.
• No toda investigación precisa de formular hipótesis nula. Recordemos que la hipótesis nula es aquella por la cual indicamos que la información a obtener es contraria a la hipótesis de trabajo.
• Al formular esta hipótesis, se pretende negar la variable independiente. Es decir, se enuncia que la causa determinada como origen del problema fluctúa, por tanto, debe rechazarse como tal. 

Hipótesis Alternativa: Toda hipótesis que difiere de una dada se llamará una hipótesis alternativa. Por ejemplo: Si una hipótesis es p = 0,5, hipótesis alternativa podrían ser p = 0,7, p " 0,5 ó p > 0,5.

Una hipótesis alternativa a la hipótesis nula se denotará por H₁.

Al responder a un problema, es muy conveniente proponer otras hipótesis en que aparezcan variables independientes distintas de las primeras que formulamos. Por tanto, para no perder tiempo en búsquedas inútiles, es necesario hallar diferentes hipótesis alternativas como respuesta a un mismo problema y elegir entre ellas cuáles y en qué orden vamos a tratar su comprobación. 

Errores de tipo I y de tipo II: Si rechazamos una hipótesis cuando debiera ser aceptada, diremos que se ha cometido un error de tipo I.

Por otra parte, si aceptamos una hipótesis que debiera ser rechazada, diremos que se cometió un error de tipo II.

En ambos casos, se ha producido un juicio erróneo.

Para que las reglas de decisión (o no contraste de hipótesis) sean buenos, deben diseñarse de modo que minimicen los errores de la decisión; y no es una cuestión sencilla, porque para cualquier tamaño de la muestra, un intento de disminuir un tipo de error suele ir acompañado de un crecimiento del otro tipo. En la práctica, un tipo de error puede ser más grave que el otro, y debe alcanzarse un compromiso que disminuya el error más grave.

La única forma de disminuir ambos a la vez es aumentar el tamaño de la muestra que no siempre es posible.

Niveles de Significación: Al contrastar una cierta hipótesis, la máxima probabilidad con la que estamos dispuesto a correr el riesgo de cometerán error de tipo I, se llama nivel de significación.

Esta probabilidad, denota a menudo por ser, suele especificar antes de tomar la muestra, de manera que los resultados obtenidos no influyan en nuestra elección.

Prueba de Uno y Dos Extremos: Cuando estudiamos ambos valores estadísticos es decir, ambos lados de la media lo llamamos prueba de uno y dos extremos o contraste de una y dos colas.

Con frecuencia no obstante, estaremos interesados tan sólo en valores extremos a un lado de la media (o sea, en uno de los extremos de la distribución), tal como sucede cuando se contrasta la hipótesis de que un proceso es mejor que otro (lo cual no es lo mismo que contrastar si un proceso es mejor o peor que el otro) tales contrastes se llaman unilaterales, o de un extremo. En tales situaciones, la región crítica es una región situada a un lado de la distribución, con área igual al nivel de significación.

Curva Característica Operativa Y Curva De Potencia: Podemos limitar un error de tipo I eligiendo adecuadamente el nivel de significancia. Es posible evitar el riesgo de cometer el error tipo II simplemente no aceptando nunca la hipótesis, pero en muchas aplicaciones prácticas esto es inviable. En tales casos, se suele recurrir a curvas características de operación o curvas de potencia que son gráficos que muestran las probabilidades de error de tipo II bajo diversas hipótesis. Proporcionan indicaciones de hasta que punto un test dado nos permitirá evitar un error de tipo II; es decir, nos indicarán la potencia de un test a la hora de prevenir decisiones erróneas. Son útiles en el diseño de experimentos por que sugieren entre otras cosas el tamaño de muestra a manejar.

Pruebas de hipótesis para la media y proporciones: Debido a la dificultad de explicar este tema se enfocará un problema basado en un estudio en una fábrica de llantas.

En este problema la fábrica de llantas tiene dos turnos de operarios, turno de día y turno mixto. Se selecciona una muestra aleatoria de 100 llantas producidas por cada turno para ayudar al gerente a sacar conclusiones de cada una de las siguientes preguntas:

 1.- ¿Es la duración promedio de las llantas producidas en el turno de día igual a 25 000 millas?

2.- ¿Es la duración promedio de las llantas producidas en el turno mixto menor de 25 000 millas?

3.- ¿Se revienta más de un 8% de las llantas producidas por el turno de día antes de las 10 000 millas?

Prueba De Hipótesis Para La Media: En la fábrica de llantas la hipótesis nula y alternativa para el problema se plantearon como sigue: 

H_o: μ = 25.000

H₁: μ ≠ 25.000 

La regla para decisión sería:

Rechazar H_o si Z > + 1.96

O si Z < - 1.96

De lo contrario, no rechazar H_o.

No obstante, en la mayor parte de los casos se desconoce la desviación estándar de la población. La desviación estándar se estima al calcular S, la desviación estándar de la muestra. Si se supone que la población es normal la distribución en el muestreo de la media seguiría una distribución t con n-1 grados de libertad. En la práctica, se a encontrado que siempre y cuando el tamaño de la muestra no sea muy pequeño y la población no este muy sesgada, la distribución t da una buena aproximación a la distribución de muestra de la media. La prueba estadística para determinar la diferencia entre la media de la muestra y la media de la población cuando se utiliza la desviación estándar S de la muestra, se expresa con: 

Prueba De Hipótesis Para Proporciones: El concepto de prueba de hipótesis se puede utilizar para probar hipótesis en relación con datos cualitativos. Por ejemplo, en el problema anterior el gerente de la fábrica de llantas quería determinar la proporción de llantas que se reventaban antes de 10,000 millas. Este es un ejemplo de una variable cualitativa, dado que se desea llegar a conclusiones en cuanto a la proporción de los valores que tienen una característica particular.

El gerente de la fábrica de llantas quiere que la calidad de llantas producidas, sea lo bastante alta para que muy pocas se revienten antes de las 10,000 millas. Si más de un 8% de las llantas se revientan antes de las 10,000 millas, se llegaría a concluir que el proceso no funciona correctamente. La hipótesis nula y alternativa se pueden expresar como sigue:

H_o: p .08 (funciona correctamente).

H₁: p > .08 (no funciona correctamente).

Ahora bien, como en general estas pruebas se aplican a dos muestras, se denominarán a y b para referirse a ellas, así entenderemos por:

• na al número de elementos de la muestra a.
•  nb al número de elementos de la muestra b.
• xb al promedio de la muestra b.
• s2a la varianza de la muestra a.
• Y así sucesivamente.

      Entonces se pueden distinguir 6 casos a saber:

• Caso de muestras grandes (n>30).
• Caso de na = nb y s2a = s2b.
• Caso de na = nb y s2a <> s2b.
• Caso de na <> nb y s2a = s2b.
• Caso de na <> nb y s2a <> s2b.
• Caso de variables dependientes.

1.-Cuando las muestras a probar involucran a más de 30 observaciones

2.-Caso de número igual de observaciones y varianzas homogéneas

3.-Caso de igual número de observaciones y varianzas heterogéneas

4.-Caso de diferente número de observaciones y varianzas homogéneas

5.- Caso de diferente número de observaciones y varianzas heterogéneas

6.- Caso de muestras pareadas (de variables dependientes)

Utilidad de las hipótesis

El uso y formulación correcta de las hipótesis le permiten al investigador poner a prueba aspectos de la realidad, disminuyendo la distorsión que pudieran producir sus propios deseos o gustos. Pueden ser sometidas a prueba y demostrarse como probablemente correctas o incorrectas sin que interfieran los valores o creencias del individuo.